Diketahui |a| = 4 akar 3 , |b|= 5 dan (a+b)2 = 13 sudut antara vektor |a| dan |b| adalah

Diketahui |a| = 4√3, |b| = 5 dan (a + b)² = 13, maka sudut antara vektor a dan b adalah 150° atau 210° Selengkapnya dapat disimak pada pembahasan di bawah ini!

PENDAHULUAN

Vektor adalah suatu besaran yang memiliki nilai dan arah. Pada mata pelajaran Matematika dan Fisika, tidak asing mendengar kata besaran vektor dan besaran skalar. Vektor dan skalar berbeda tentunya, seperti pengertian di atas bahwa vektor memiliki arah sedangkan skalar hanya memiliki nilai saja tidak mempunyai arah.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan rumus berikut :

[tex]\displaystyle\blacktriangleright\boxed{\boxed{\bf \left(\bar{a} + \bar{b}\right)^2 = |\bar{a}|^2 + 2~\bar{a}\cdot \bar{b} + |\bar{b}|^2}}[/tex]

[tex]\displaystyle\blacktriangleright\boxed{\boxed{\bf cos~\alpha = \dfrac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{|\bar{a}|~|\bar{b}|}}}[/tex]

Kembali ke soal, mari simak penyelesaiannya pada pembahasan di bawah ini!

PEMBAHASAN

Diketahui :

• |a| = 4√3
• |b| = 5
• (a + b)² = 13

Ditanya : sudut antara kedua vektor tersebut (α) = . . . ?

Jawab :

❖ Menentukan nilai a · b

[tex]\displaystyle\rm \left(\bar{a} + \bar{b}\right)^2 = 13 \\ \\ \displaystyle\rm |\bar{a}|^2 + 2~\bar{a}\cdot \bar{b} + |\bar{b}|^2 = 13 \\ \\ \displaystyle\rm \left(4\sqrt{3}\right)^2 + 2~\bar{a}\cdot \bar{b} + 5^2 = 13 \\ \\ \displaystyle\rm (16\cdot3) + 2~\bar{a}\cdot \bar{b} + 25 = 13 \\ \\ \displaystyle\rm 48 + 2~\bar{a}\cdot \bar{b} + 25 = 13 \\ \\ \displaystyle\rm 2~\bar{a}\cdot \bar{b} + 73 = 13 \\ \\ \displaystyle\rm 2~\bar{a}\cdot \bar{b} = 13 - 73 \\ \\ \displaystyle\rm 2~\bar{a}\cdot \bar{b} = -60 \\ \\ \displaystyle\rm \bar{a}\cdot \bar{b} = -\dfrac{60}{2} \\ \\ \displaystyle\boxed{\rm \bar{a}\cdot \bar{b} = -30}[/tex]

diperoleh: nilai a · b = –30

❖ Menentukan nilai cos α

[tex]\displaystyle\begin{array}{rcl}\rm cos~\alpha &=& \dfrac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{|\bar{a}|~|\bar{b}|} \\ \\ &=& \displaystyle\rm \dfrac{-30}{(4\sqrt{3})(5)} \\ \\ &=& \displaystyle\rm \dfrac{-30}{20\sqrt{3}} \\ \\ &=& \displaystyle\rm \dfrac{-3}{2\sqrt{3}}~~~\rm (Rasionalkan~penyebut) \\ \\ &=& \displaystyle\rm \dfrac{-3}{2\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ \\ &=& \displaystyle\rm \dfrac{-3\sqrt{3}}{2\cdot3} \\ \\ &=& \displaystyle\rm \dfrac{-3\sqrt{3}}{6}\end{array} \\ \\ \displaystyle\boxed{\rm cos~\alpha = -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}}[/tex]

❖ Sehingga, nilai α tersebut

cos bernilai negatif jika berada di kuadran II dan kuadran III dan cos 30° = ½√3, dengan demikian :

○ jika α berada di kuadran II

[tex]\displaystyle\rm cos~\alpha = -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \\ \displaystyle\rm cos~\alpha = cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) \\ \\ \displaystyle\boxed{\boxed{\rm \alpha = 150^{\circ}}}[/tex]

○ jika α berada di kuadran III

[tex]\displaystyle\rm cos~\alpha = -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \\ \displaystyle\rm cos~\alpha = cos(180^{\circ} + 30^{\circ}) \\ \\ \displaystyle\boxed{\boxed{\rm \alpha = 210^{\circ}}}[/tex]

∴ Kesimpulan : Jadi, sudut antara kedua vektor tersebut adalah 150° atau 210°.

PELAJARI LEBIH LANJUT

Materi tentang vektor lainnya dapat disimak di bawah ini :

• Jika vektor a dan b membentuk sudut 60°, |a| = 4 dan |b| = 3, maka vektor a·(a – b) adalah brainly.co.id/tugas/1439026
• Diketahui vektor a = ti – 2j + 4k dan b = ti – 4j + 3k. Jika a tegak lurus b dan |b|=√29, maka |a| adalah brainly.co.id/tugas/15080261
• Diketahui vektor u = [2, 4, –4] dan v = [3, –4, 12], maka panjang vektor u dan v adalah brainly.co.id/tugas/9718015

____________________________

DETIL JAWABAN

Kelas : X

Mapel : Matematika

Bab : Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor

Kode : 10.2

Kata kunci : panjang vektor a, panjang vektor b, sudut antara kedua vektor